2020년 8월 12일 수요일

"양자 컴퓨팅 입문" 요약 - 1장. 복소수, 벡터 공간, 디랙 표기법

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1.1 복소수

양자 컴퓨팅을 이해하려면 복소수의 성질을 어느 정도 알아야 한다. 복소수는 실수와 허수라는 두 가지 기수(fundamental numbers)로 이뤄지고, 이차 방정식의 해가 될 수 있다. 복소수 c 는 다음과 같다. 

c = a + bi

위 식에서 a 와 b 는 실수고, i 는 √(-1) 이다. 숫자 a 는 c 의 실수부, 숫자 b는 c 의 허수부이며, 다음과 같이 표현할 수 있다.

a = c 의 실수부 = Re(a + bi)
b = c 의 허수부 = Im(a + bi) [1]

실수와 허수는 복소수의 부분집합이며, Re(a + bi) = 0 이면 c 는 순허수, Im(a + bi) = 0 이면 c 는 실수이다. 0 의 경우, 0 = 0 + 0i 이므로 실수이자, 순허수이다.

그림 1.1 복소평면

복소 평면(complex plane)은 실수부 a 를 x 좌표로, 허수부 b 를 y 좌표로 하는 점으로 표시한다.  수평축은 실수축(real axis), 수직축은 허수축(imaginary axis)이라고 한다.

복소수의 크기(magnitude) 및 길이(length)는 피타고라스 정리를 이용하여, 실수부와 허수부를 제곱해 더한 값의 제곱근으로 구할 수 있다.

|c| = √(a²+ b²)

복소수 i²= -1 이라는 점만 염두하면, 연산 규칙은 다음과 같다.

덧셈 : (a + bi) + (b + di) = (a + c) + (b + d)i
곱셈 : (a + bi) x (b + di) = ac + adi + bci - bd = (ac + bd) + (ad + bc)i
나눗셈[2] : (a + bi) / (c + di) = ((ac + bd) + (bc - ad)i) / (c2 + d2)

1.2 켤레복소수

복소수 c 의 켤레복소수는 허수부의 부호를 치환하며, c* 로 표기한다.

c* = a - bi

복소 평면에서는 실수축을 기준으로 반사한 복소수이다.

그림 1.2 켤레복소수

대수식의 결레복소수는 다음 세 가지 관계를 이용한다.

1. 합의 켤레는 켤레의 합과 같다. 즉, (a + b)* = a* + b*
2. 곱의 켤레는 켤레의 곱과 같다. 즉, (ab)* = a*b*
3. 켤레의 켤레는 원래의 복소수다[3]. 즉, (a*)* = a

복소수 c = a + bi 의 법(modulus) 또는 절댓값(absolute value)는 |c| 로 표기하며, 복소 평면의 원점에서 점 c 까지의 거리이다. 자연스럽게, |c| 는 c 에 대응하는 벡터의 길이가 된다.

c 의 절댓값 제곱(square modulus)은 |c|² 로 표기하며, c 와 켤레복소수 c* 의 곱이다. cc* = |c|² 은 실수이며, 양의 값임을 아래와 같이 보일 수 있다.

cc* = (a + bi)(a - bi) = a² + b² = (√(a² + b²))(√(a² + b²)) = |c|²

복소수의 절댓값은 크기라고도 하며, 다음과 같이 표현한다.

|c| = √(cc*) = √(a² + b²)

c 의 절댓값 제곱과 c² 은 같지 않다는 점에 유의한다. c = a + bi 이므로, c² 은 다음과 같다.

c² = (a² - b²) + (2ab)i

절대값 제곱은 항상 양의 실수인 반면, 제곱은 일반적으로 복소수가 된다. 

1.3. 벡터 공간

벡터 공간 V 는 벡터인 원소, 그리고 스칼라인 원소의 집합인 체(field) F 와 두 가지 연산, 벡터 덧셈과 스칼라 곱으로 이뤄진다. 체는 a 와 b 가 F 에 속하면 a + b, a - b, ab, a/b 또한 F 에 속하는 성질을 지닌 스칼라의 집합이다(a/b 에서 b ≠ 0 을 가정).

1. 벡터 덧셈 : V 의 어떤 두 벡터 u 와 v 를 취해 u + v 라는 제 3의 벡터를 산출하며, 다음의 조건을 따른다.
  1. 닫힘성 : u + v 는 V 에 속하는 벡터다.
  2. 교환성 : u + v = v + u
  3. 결합성 : (u + v) + w = u + (v + w)
  4. 항등원 : V 의 모든 u 에 대해 (u + 0) = u 인 영 벡터 0 이 있다.
  5. 역원 : V 의 모든 u 에 대해 -u 라고 표기하며, u + (-u) = 0 인 벡터가 있다.
2. 스칼라 곱셈 : F 의 스칼라 c 와 V 의 벡터 v를 취해 V 에 속하는 새로운 벡터 cv 를 산출하며, 다음의 조건을 만족한다.
  1. 닫힘성 : cv는 V 에 속한다.
  2. 분배성1 : c(u + v) = cu + cv // 스칼라 값이 분배
  3. 분배성2 : (c + d)u = cu + du // 벡터가 분배됨
  4. 결합성 : c(du) = (cd)u
  5. 항등원 : 1(u) = u
예를 들어, 복소 벡터 공간 Cⁿ 의 두 복소 벡터 X와 Y 가 있다고 하자.

X = (x₁, x₂, ..., xn), Y = (y₁, y₂, ..., yn)

덧셈 연산은 아래와 같이 성분 별로 더한다.

X + Y = (x₁ + y₁, x₂ + y₂, ..., xn + yn)

곱셈 연산은 각 성분 X(또는 Y)에 복소수 c 를 곱해준다.

c(X) = (cx₁,  cx₂, ..., cxn)

1.4 기저 집합

고전 물리학이 3차원 공간의 위치를 직교하는 세 축 x, y, z 좌표로 결정하듯이, 유사한 개념으로 양자역학에는 상태 벡터(state vector)로 표현하며, 이때 기저 집합(basis set)을 이용한다. 어떤 벡터 공간


[1] 허수는 영어로 Imaginary number 이다. 실수는 Real number.
[2] 허수부의 부호를 반대로 하는 켤레 복소수 c - di 를 분자와 분모에 곱한다. 즉, ((a + bi) / (c + di)) x ((c - di) / (c - di)) 를 정리한다. 이 과정을 '분모의 실수화'라고 한다. 출처는 아래 블로그.
https://mathbang.net/305
[3] 처음 값으로 돌아오는 성질을 연산의 역원이라고 하며, 암호학에서 암호문이 평문으로 돌아가도록 하는 중요한 성질이다.

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