2021년 2월 17일 수요일

"양자 컴퓨팅 입문" 요약 - 2장. 기초 양자역학

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2.1. 고전 물리학의 한계

고전 물리학은 거시적인 물체의 운동을 설명하는 뉴턴의 법칙과 전자기파의 움직임을 설명하는 멕스웰의 법칙이라는 한 쌍의 기초 위에 세워진다. 1686년에 발표된 뉴턴 운동 법칙은 세 가지다. 제 1법칙에 따르면, 직선으로 움직이는 물체는 외부 힘이 가해지지 않는 한 계속 움직인다. 반대로 물체가 정지해 있으면 외부 힘이 작용하지 않는 한 물체는 그대로 정지해 있다. 이 법칙은 흔히 관성의 법칙(law of inertia)이라고 한다.

고전 물리학에서 물체의 상태는 그 위치(position)와 운동량(momentum)으로 설명한다. 뉴턴의 제 2법칙은 물체에 작용하는 힘의 평형이 깨졌을 때 가속도가 발생한다고 말한다. 즉, 물체에 작용하는 모든 힘을 합한 알짜 힘이 물체에 작용한다. 제 2법칙은 힘과 질량 가속도 사이의 관계를 규정한다.

힘 = 질량 x 가속도

그래서 어떤 시험에 물체의 초기 상태를 알면 이 물체가 어디로 가고 얼마나 빨리 갈 것인지, 위치와 운동량을 뉴턴의 제 2법칙을 사용해 예측할 수 있다. 다시 말해, 뉴턴의 제 2법칙은 초기 상태에서 시작해서 시간이 지나면서 일어나는 물체의 동적 변화를 결정하게 해준다.

뉴턴의 제 3법칙은 모든 작용에 대해 크기는 같고 방향은 반대인 반작용이 존재한다고 한다. 두 물체가 상호작용할 때 두 물체는 서로 힘을 가한다. 이 두 힘을 작용력(action)과 반작용력(reaction)이라고 한다. 한 물체에 가해진 힘의 크기는 다른 물체에 가해진 힘의 크기와 같고, 방향은 반대다.

19세기 후반까지 물리 법칙은 역학, 뉴턴의 중력 법칙, 전자기를 설명하는 멕스웰의 방정식, 대량의 물체 상태를 설명하는 통계역학에 근거가 되었으며, 대부분의 조건에서 자연을 충분히 잘 설명했다. 그러나 이들 법칙이 미시 세계, 즉 개별 원자와 원자를 이루는 입자처럼 아주 작은 세계에는 들어맞지 않았는 데, 위치와 운동량이 그것들의 상태를 설명하기에 알맞은 변수가 아니었기 때문이다.

19세기 후반부터 20세기 초반에 걸쳐 원자 및 아원자 수준에서 고전 물리 법칙으로 설명하지 못하는 근본적인 여러가지 난제가 드러났다. 이러한 난제에는 흑체 복사(blackbody radiation), 광전 효과(photoelectric effect), 러더퍼드-보어의 원자 모형(Rutherford-Bohr model of atom) 등이 있다.

2.1.1. 흑체 복사

흑체 복사는 고전 물리학의 이론과 실험 사이에 심각한 모순이 있음을 알려준다. 고전 물리학에서 흑체(blackbody)는 입사하는 모든 전자기 복사(electromagnetic radiation)를 흡수하는 물체로 정의한다. 즉, 어떤 복사도 반사하지 않아 검게 보이며, 통과시키지도 않는다.

흑체는 모든 파장의 전자기 복사를 흡수하므로 모든 파장의 전자기 복사를 방출할 수도 있다. 따라서 흑체는 복사의 이상적인 방출체이기도 하며, 이러한 복사가 흑체 복사(blackbody radiation)이다.

흑체가 차가울 때는 아무런 복사도 방출하지 않는다. 흑체가 뜨거워지면 복사를 방출하기 시작한다. 방출된 복사의 파장은 흑체의 온도에 따라서만 달라진다. 단위 면적당 방출되는 에너지를 복사의 강도(intensity)라고 한다. 전자기 복사는 전하의 움직임에 변화가 생기면 발생한다. 흑체가 뜨거워지면 내부의 전자가 무작위 방향으로 움직이고, 그에 따라 전자기 복사가 발생한다.  흑체가 뜨거워질수록 흑체 복사는 성분에 상관없이 적색, 주황색, 황색, 녹색, 청색이 되는 스펙트럼에 따라 변한다.

20세기 초, 영국의 두 과학자 레일리(Rayleigh)와 진스(Jeans)는 흑체 복사 스펙트럼을 분석하려고 시도했다. 두 과학자는 방출된 복사 중에 얼마나 많은 양이 청색광으로 저장되는지, 적색광으로 저장되는지, 또 그외의 빛으로는 얼마나 많이 저장되는지를 알아내는 데 주로 관심이 있었다. 이들을 복사의 강조 w 를 고정된 온도 T 에 대해 진동수 f 의 함수로 설명하는 공식을 도출했다.

ω(f, T) ∝ f²T  ∝ T/λ²

이 공식은 진동수가 더 작을 때, 또는 파장이 더 길 때 복사 강도가 감소한다는 실험 결과와 일치한다. 그러나 복사 강도는 단순히 스펙트럼의 높은 진동수 쪽에서 점점 더 높아질 뿐이다. 즉, 예를 들어 극도로 높은 UV 진동수, 매우 낮은 파장에서는 복사 강도가 무한대일 것이라는 뜻이 된다. 그러나 실험 결과는 이러한 계산에 따른 예측을 뒷받침하지 않는다. 이러한 실패를 자외선 파탄(ultraviolet catastrophe)이라고 하며, 이로 인해 열역학과 전자기 이론의 기본 개념에 근거해 공식을 도출하는 고전 물리학의 단점이 드러났다.

2.1.2. 플랑크 상수

양자역학은 1900년에 막스 플랑크(Max Plank)가 흑체 복사 스펙트럼에 대한 올바른 설명을 찾아내면서 발전하기 싲가했다. 흑체 복사에 관한 논문에서 그는 복사를 연속적인 파동으로 간주할 필요가 없다고 제안했다. 대신 양자(quanta)라고 칭한 작은 덩어리로 이뤄졌을 수도 있다고 추정했다. 그는 각각의 양자가 복사 진동수 f 에 비례하는 에너지 E 를 가지며, 이때 비례 상수는 h = 6.626075 x 10-34 j·s 라고 추정했다.

E = hf

나중에 이 상수는 그를 기리며 플랑크 상수라는 이름이 붙게 된다.

2.2. 광전효과

1887년 헤르츠(Hertz)는 진공 상태의 깨끗한 금속판에 빛을 쪼이면 전자가 방출되는 현상을 발견했다. 금속 표면에서 튀어나온 전자는 입사광에 포함된 에너지를 흡수한다. 멕스웰이 주장한 빛의 파동설에 따르면 입사광의 강도가 금속판에서 방출되는 전자의 수를 결정한다. 그러나 방출된 전자의 에너지는 입사 복사(incident radiation)의 강도와 무관하다. 방출된 전자의 에너지는 입사 복사의 진동수와 관련이 있다. 금속판의 성분에 따라 결정되는 특정 문턱 값보다 진동수가 낮으면 방출이 일어나지 않는다.

몇 년 후 아인슈타인은 빛이 지금은 광자(photon)라고 부르는 광양자(light quanta)라는 양자의 흐름으로 이뤄져 있음을 보였다. 광자는 전기적으로 중성이며, 질량이 없다. 하지만 광자는 플랑크가 이전에 제안한 양자처럼 E 와 동일한 에너지를 가지며, 빛의 속도 c 로 이동한다.

E = hf 동일한 식을 두 번 쓴게 맞습니다. 오타가 아닙니다.

주목할 점은 이 방정식이 빛의  파동성과 입사성을 결합한다는 점이다. E 는 빛 입자 하나의 에너지인 반면 우변의 f 는 그 빛의 파동성을 가리키는 진동수를 나타낸다. 상수 h 는 앞서 언급했던 플랑크 상수이다.

상대성 이론에 따르면 광자의 운동량 p 는 다음과 같다.

p = E / c

E = hf 이므로 다음이 된다.

p = hf / c

빛의 속도 c = λ · f 를 대입해 파장의 항으로 다시 정리하면 다음과 같다.

p = hf / λf = h / λ

금속 표면에서 전자를 쫒아내려면 일함수(work function)라 불리는 최소 에너지 φ 를 소모해야만 한다. 에너지 hf 를 갖는 하나의 광자가 금속 표면의 전자에 흡수된다고 해보자.
1. hf < φ 이면 전자를 쫓아낼 수 없다. 일함수를 넘어서는 데 필요한 에너지가 없기 때문이다.
2. hf > φ 이면 전자가 금속 표면에서 빠져나올 에너지를 갖는다. 추가적인 에너지는 전자가 운동 에너지로 사용한다. 수학적으로 다음과 같이 쓸 수 있다.

hf = φ +방출된 전자의 운동 에너지 = φ + ½mv²

또는 다음과 같다.

½mv² = hf - φ

위 식에서 m 은 광전자(방출된 전자)의 정지 질량(rest mass)이고, v 는 광전자의 속도이다.

위 방정식은 광전자의 운동 에너지가 입사 복사의 진동수와만 관계가 있을 뿐 강도와는 관계가 없다는 것을 보인다. 또한 광전자가 방출되는 것은 한 전자가 입사 복사파 전체가 아니라 단일 광자와 상호작용한 결과다.

광전 효과는 빛이 입자로 구성되어 있다는 것을 확실히 증명했다. 그때까지는 빛이 파동처럼 움직인다고만 여겼기 때문에 이는 예상치 못한 결과였다.

2.3. 고전 전자기 이론

전자기 이론의 기본 아이디어는 변화하는 전기장이 변화하는 자기장을 만들 때 전자기파가 나타나고, 변화하는 자기장은 차례로 또 다른 전기장을 생성한다는 것이다. 장(field)이란 개념은 물리학에서 매우 중요한 개념으로 물리적 접촉 없이 자연에서 발생하는 힘을 설명하는 데 쓰인다. 각 유형의 힘(전기력, 자기력, 중력)은 고유의 장, 즉 힘이 작용할 수 있는 영역을 갖는다. 그러므로 장은 아무 물리적인 매체 없이 빈 공간을 통해 힘을 전달하는 일종의 매체다. 예를 들어 중력장이나 전기장, 자기장은 각각 질량, 전하, 자석에서 나오는 힘을 전달한다. 혹은 장을 힘의 원천을 둘러싼 공간을 채우는 유체와 같은 연속 물질로 간주할 수도 있다. 예를 들어 전하가 전하 주위의 공간에 전기장을 생성하면 이 공간에 들어간 모든 물체는 전기장을 일으킨 전하에 가까울수록 더 강한 힘을 받는다. 따라서 이 공간은 전하의 존재로 인해 변하게 되고, 그 공간 안에 있는 다른 전하는 그 공간 내에 생긴 뭔가 다른 변화의 영향을 받을 것이다. 전기장은 다른 전하가 그 공간에 들어가는지 여부와 상관 없이 발생한다. 자기장은 움직이는 전하에 의해 발생한다. 이와 같이 전기장과 자기장은 함께 결합해 전자기파를 형성한다.



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