공상과학 영화를 보면 순간원격이동이 종종 등장한다. 양자역학에서는 입자의 상태가 순간원격이동하는 것을 허용하고 있다. 단, 이때 이동되는 것은 입자 그 자체가 아니고 입자의 양자상태일 뿐이다.
11.1. 순간원격이동
순간원격이동(teleportation)은 얽힘 관계에 있는 물체들이 멀리 떨어져있더라도 긴밀하게 연결되어 있다는 원리에 바탕을 둔다. 양자계산에서 서로 떨어져 있는 거리는 문제가 되지 않는다. 두 물체가 보이지 않게 서로 연결되어 한 물체를 측정하는 즉시 다른 물체의 양자상태가 변화된다. 보이지 않는 연결을 통해 미지의 양자상태를 한 위치에서 다른 위치로 보내는 것으로 생각할 수 있다.
Alice 와 Bob 이 얽힘 상태가 교란되지 않은 각각 한 개의 입자를 가지고 수천마일 떨어져 있다고 가정하자. Alice 는 광자의 평광 상태를 이용하여 Bob 에게 양자 상태를 보내 연락하고자 한다. Alice 는 자신이 가진 정보가 어떤 양자 상태인지 모르며, 고전적인 방법으로는 Bob 에게 어떤 정보도 보낼 수가 없다. 그녀가 정보를 보내려면 측정을 해야하고, 이는 결국 계를 교란시키게된다.
미지의 양자상태를 측정하는 것은 좋은 대안이 아니므로, 대신 연결 측정(joint measurement)을 통하여 얽힌 광자쌍 중에서 Alice 의 부분을 측정하게 된다고 하자. Bob 은 연결 측정의 결과로 자신이 가지고 있던 얽힘 양자 상태가 Alice 가 처음에 가지고 있던 양자 상태로 전환됨을 알게 된다. Alice 의 연결 측정 결과로 얽힘 양자상태가 소멸되기 때문이다. 이는 빛보다 더 빠를 수 없다는 상대론적 조건을 만족해야 하며, 결국 양자 원격이동에서는 동시에 메시지를 전달할 수 없다.
양자 원격이동 프로토콜을 위한 회로에 필요한 것들은 다음과 같다.
ㆍ CNOT 게이트
ㆍ 하다마드 게이트[1] (H라고 정의함)
ㆍ 두 번의 측정
ㆍ 두 번의 조건적 큐비트의 회전
우선 Alice 와 Bob 이 얽힘 상태에 있는 분자들 중의 한 개를 가지는 상황이 필수적이다. 이 얽힘 상태는 아래와 같은 벨 상태 함수로 가정될 수 있다.
이제 순간이동을 네 단계로 나누어보자.
ㆍ CNOT 게이트
ㆍ 하다마드 게이트[1] (H라고 정의함)
ㆍ 두 번의 측정
ㆍ 두 번의 조건적 큐비트의 회전
우선 Alice 와 Bob 이 얽힘 상태에 있는 분자들 중의 한 개를 가지는 상황이 필수적이다. 이 얽힘 상태는 아래와 같은 벨 상태 함수로 가정될 수 있다.
|얽힘상태> = (|00> + |11>) / √2
이제 순간이동을 네 단계로 나누어보자.
1단계 : Alice 가 Bob 에게 보내기를 원하는 미지의 양자 상태를 가지고 있으며, 이를 |Ψ> 로 다음과 같이 정의한다.
|Ψ> = a * ||0> + b * |1>
위 식의 a 와 b 는 임의의 어떤 수이며, 규격화 조건으로부터 적절하게 선택한다. Alice 와 Bob 이 공유하는 벨 상태식을 포함하는 원격 이동 프로토콜 전체의 처음 상태는,
|Ψ>처음 = |Ψ>|얽힘상태>
이며, 두 양자 상태를 완전한 형태로 풀어 쓰면 다음과 같다.
|Ψ>처음 = (a * (|000> + |011>) + b * (|100> + |111>)) / √2
위의 |011> 상태의 왼쪽부터 두 개 큐비트인 0 과 1은 Alice 의 것으로써, 그 중 첫번째는 미지의 양자 상태, 두 번째는 얼힘 구조에 해당한다. 마지막 큐비트 1 은 Bob 의 부분이다.
2단계 : Alice 는 자산의 두 큐비트를 CNOT 게이트를 통하여 전송한다. CNOT 게이트는 첫 큐비크의 값이 1이면 두 번째 큐비트 값을 변화시키므로, 원래의 양자 상태를 다음과 같이 중간 상태로 변화시킨다. 아래에서 밑줄이 변화된 부분이다.
|Ψ>중간 = (a * (|000> + |011>) + b * (|110> + |101>)) / √2
위 식이 앞서 언급한 연결 측정의 첫 단계이다. Alice 는 얽힘 쌍에 대한 본인의 부분을 측정하며, 이는 미지의 상태에 의존된다. 따라서 CNOT 게이트를 Alice 의 큐비트에 작용시키면 Alice 는 자신의 미지 상태를 얽힘 쌍에서 자신의 부분으로 기억할 것이다. Bob 도 마찬가지다.
그림11.1. 양자 상태 |Ψ> 를 순간 이동시키는 양자회로.
Alice 와 Bob 이 공유하는 얽혀진 벨 상태가 핵심이다.
Alice 와 Bob 이 공유하는 얽혀진 벨 상태가 핵심이다.
3단계 : Alice 의 미지의 양자 상태인 첫 번째 큐비트에 하다마드 게이트를 적용하자.
위 식에서 확률 계수를 앞으로 빼고 a 와 b 의 관계에 따라 괄호를 정리하면 다음과 같다.
위의 최종 식을 살펴보면, 처음 식에서는 Alice 의 큐비트가 중첩되어 있지만 최종식에서는 읽힘 상태의 Bob 의 해당하는 부분이 중첩되어 있다. 즉, 합의 형태로 구분되는 4개의 항은 Alice 가 가진 큐비트와 Bob이 가진 큐비트의 중첩 상태이다. 이제 Alice 가 두 번 측정을 한다. 한 번은 Alice 의 첫 큐비트이고, 두 번째는 Alice 의 두 번째 큐비트이다. Alice 가 두 번 측정을 하고 나면 Alice 의 큐비트들은 각각 |0> 과 |1> 의 상태의 간단한 곱이 되고, 측정 결과는 00, 01, 10, 11의 4개 조합 중의 하나가 될 것이다. 따라서 각 경우에 Bob 의 큐비트는 특별한 값을 갖는 한 쌍의 유일한 상태로 결정된다. 예를 들어, Alice 가 00 을 측정하면, 위 식에서 Bob 의 큐비트는 (1/√2)*(a|0> + b|1>) 의 상태가 된다. 이 식은 최초 Alice 가 Bob 에게 전달하고자 했던 미지의 양자 상태와 동일하다.
물론 Alice 가 00을 측정하는 경우는 4가지 중 하나의 경우이므로, 자신의 양자 상태를 Bob 에게 성공적으로 보낼 확률은 25% 이다. 그러나 Alice 가 00 을 측정하지 않는 경우에도 Bob 은 정확한 양자 측정을 하게 될 수도 있다. 만일 Alice 가 01 을 측정했다고 하자. 이 경우에 Bob 의 양자 상태는 Alice 의 측정 후에 (1/√2)*(a|1> + b|0>) 이 되는데 이것은 Alice 가 보내려는 상태가 아니며, |0> 과 |1> 이 서로 뒤바뀌어 있다. 이를 복원하려면 양자 NOT 게이트를 적용해야 한다. 따라서 Alice 는 Bob 에게 전화를 걸어 양자 NOT 게이트를 수행하라고 알린다[2]. 이와 비슷하게 10과 11을 Alice 가 측정한 경우에도 Bob 은 다른 양자 게이트를 사용하여 Alice 가 보내고자 하는 상태에 도달할 수 있다.
|Ψ>최종 = (a * (((|0> + |1>)|00>) / √2 + ((|0> + |1>)|11>) / √2)
+ b * (((|0> - |1>)|10>) / √2 + ((|0> - |1>)|01>) / √2)) / √2
위 식에서 확률 계수를 앞으로 빼고 a 와 b 의 관계에 따라 괄호를 정리하면 다음과 같다.
|Ψ>최종 = (1/√2) * [ |00>((1/√2)*(a|0> + b|1>))
+ |01>((1/√2)*(a|1> + b|0>))
+ |10>((1/√2)*(a|0> - b|1>)) + |11>(((1/√2)*(a|1> - b|0>))]
+ |01>((1/√2)*(a|1> + b|0>))
+ |10>((1/√2)*(a|0> - b|1>)) + |11>(((1/√2)*(a|1> - b|0>))]
위의 최종 식을 살펴보면, 처음 식에서는 Alice 의 큐비트가 중첩되어 있지만 최종식에서는 읽힘 상태의 Bob 의 해당하는 부분이 중첩되어 있다. 즉, 합의 형태로 구분되는 4개의 항은 Alice 가 가진 큐비트와 Bob이 가진 큐비트의 중첩 상태이다. 이제 Alice 가 두 번 측정을 한다. 한 번은 Alice 의 첫 큐비트이고, 두 번째는 Alice 의 두 번째 큐비트이다. Alice 가 두 번 측정을 하고 나면 Alice 의 큐비트들은 각각 |0> 과 |1> 의 상태의 간단한 곱이 되고, 측정 결과는 00, 01, 10, 11의 4개 조합 중의 하나가 될 것이다. 따라서 각 경우에 Bob 의 큐비트는 특별한 값을 갖는 한 쌍의 유일한 상태로 결정된다. 예를 들어, Alice 가 00 을 측정하면, 위 식에서 Bob 의 큐비트는 (1/√2)*(a|0> + b|1>) 의 상태가 된다. 이 식은 최초 Alice 가 Bob 에게 전달하고자 했던 미지의 양자 상태와 동일하다.
물론 Alice 가 00을 측정하는 경우는 4가지 중 하나의 경우이므로, 자신의 양자 상태를 Bob 에게 성공적으로 보낼 확률은 25% 이다. 그러나 Alice 가 00 을 측정하지 않는 경우에도 Bob 은 정확한 양자 측정을 하게 될 수도 있다. 만일 Alice 가 01 을 측정했다고 하자. 이 경우에 Bob 의 양자 상태는 Alice 의 측정 후에 (1/√2)*(a|1> + b|0>) 이 되는데 이것은 Alice 가 보내려는 상태가 아니며, |0> 과 |1> 이 서로 뒤바뀌어 있다. 이를 복원하려면 양자 NOT 게이트를 적용해야 한다. 따라서 Alice 는 Bob 에게 전화를 걸어 양자 NOT 게이트를 수행하라고 알린다[2]. 이와 비슷하게 10과 11을 Alice 가 측정한 경우에도 Bob 은 다른 양자 게이트를 사용하여 Alice 가 보내고자 하는 상태에 도달할 수 있다.
양자 원격 순간이동이 금방 실현될 수 있는 이론은 아니다. 1997년 이탈리아의 로마에서 얽힘 광자에 대한 선구적인 두 가지 실험이 선을 보였고, 이후 많은 실험이 잇달아 수행되었다. 실험은 광자 또는 원자를 이용한다. 얽힘을 토대로 한 양자원격 순간이동은 미래의 양자 컴퓨터에서 중요한 역할을 할 것이다. 예를 들어, 양자 컴퓨터의 네트워크는 한 위치에서 다른 위치로 정보를 정확하게 전달하며, 양자 상태를 물리적으로 전혀 건드리지 않고도 먼 거리의 양자컴퓨터를 서로 연결할 수 있을 것이다.
11.2. 깨기 어려운 암호(양자 조밀화 암호, Quantum dense coding)
얽힘은 고전적인 세계에서는 상상할 수 없는 일을 가능하게 만들 수 있다. 하지만 제약 사항이 반드시 존재한다. 일부에서는 한 개의 큐비트로 두 개의 정보를 전송하는 것이 가능하다고 말한다. 고전적인 비트에서는 두 개의 값 0, 1 중에 하나의 정보만을 전달한다. 큐비트를 사용하면 상태 |0> 과 |1> 의 중첩이 가능하므로 하나 이상의 정보를 전달할 수 있다고 말하지만 그건 확실히 틀렸다.
Alice 가 a|0> + b|1> 의 상태를 만들어 정보를 암호화한다고 가정하자. 상태는 항상 규격화된다는 제한이 있지만, a 와 b 는 0과 1 사이의 무한 개의 수가 가능하다. 그러나 이 상태를 받은 Bob 은 정확한 정보를 얻기 위해 측정을 해야 한다. 미지의 양자 상태에 대한 측정은 마구잡이의 결과를 주며 측정될 확률은 중첩상태의 계수에 의존한다. 또한 Bob 이 측정할 수 있는 기회는 단 한 번만 주어지므로, 중첩 상태로 정보를 보낸다는 것은 전혀 전달되지 않는 상황으로 악화될 뿐이다.
Alice 의 양자 상태를 잘 알려진 기저 상태, 예를 들어 광자의 수직-수평 편광 기저로 준비한다면, Bob 은 기저에 대해 미리 알기 때문에 측정할 때 0 또는 1 둘 중의 하나를 받을 확률은 100%이다. 하지만 전달된 정보는 정확하게 하나의 비트일 뿐이므로, 큐비트를 사용하는 것은 도움이 되지 않는다.
실제로 단일 양자 채널은 고전적인 채널보다 더 많은 고전적인 정보를 전달할 수 없다. 이를 '홀레보의 속박(Holevo bound)'이라고 부른다. 그러나 Alice 와 Bob 이 양자 상태의 얽힘 쌍을 공유하는 경우는 위와 다르다. Alice 는 Bob 에게 두 개의 정보가 담긴 비트를 보낼 수 있다. Alice 와 Bob 이 서로 같은 얽힘 상태를 공유한다고 가정하자.
|얽힘상태> = (|00> + |11>) / √2
위 상태는 양자원격이동에도 사용한 벨 상태이며, 각 항에서 처음 상태들은 Alice 에 달려 있고, 다른 것은 Bob 의 상태에 속한다. Alice 는 얽힘 쌍에서 자신의 부분을 취하여 4개의 연산 중의 하나를 수행할 수 있다. 가능한 연산은 다음과 같다.
1. 아무것도 하지 않는다. 그래서 상태는 그대로 남는다.
2. 자신의 상태 |0> 을 그대로 두고, |1> 을 |-1> 상태로 바꾼다. 즉, Alice 는 |1> 의 위상을 변하게 만든다. 이것은 조건적 위상게이트를 실행시키는 것과 같다. 만일 상태가 |1> 이라면 위상이 변하고, 그 외에는 변하지 않는다. Alice 와 Bob 사이의 상태에 대한 완전한 식은 아래와 같이 바뀌고, 이것을 벨의 4개 상태 중의 하나가 된다.
(|00> - |11>) / √2
Alice 가 처음의 벨 상태를 다른 벨 상태로 변환시킨다. 단, Alice 는 벨 상태를 변화시키지만 측정을 하지 않는다는 것이 중요하다. 측정을 하지 않기 때문에 Alice 는 양자 상태에 대한 어떤 정보도 얻지 못한다.
3. Alice 는 양자 상태를 |0> 에서 1>, 또는 그 역으로 변화시킨다. 그러므로 처음 본래의 벨 상태는 다음과 같이 바뀐다. 아래 식에서 밑줄이 상태가 변한 경우이다.
전문용어로 표현하면 Alice 는 자신의 양자 상태에 양자 NOT 게이트를 작용시켜 또 다른 벨 상태가 되게 만든다.
3. Alice 는 양자 상태를 |0> 에서 1>, 또는 그 역으로 변화시킨다. 그러므로 처음 본래의 벨 상태는 다음과 같이 바뀐다. 아래 식에서 밑줄이 상태가 변한 경우이다.
(|10> + |01>) / √2
전문용어로 표현하면 Alice 는 자신의 양자 상태에 양자 NOT 게이트를 작용시켜 또 다른 벨 상태가 되게 만든다.
4. Alice 는 연산2와 연산3 과정을 결합 시킨다. 즉, NOT 게이트와 조건적인 위상게이트를 적용하며, 상태는 다음과 같이 변한다.
(|10> - |01>) / √2
위 식은 Alice 가 자신의 양자 상태를 4개의 벨 상태 중 하나로 변환시킨 과정에 해당한다. 4개의 가능한 상태를 구분해내려면 두 개의 비트가 반드시 필요하다. 이것은 Alice 가 두 비트의 정보를 Bob 에게 전송하는 것으로 볼 수 있다.
한편, Alice 가 Bob 에게 보낸 큐비트를 Eve 가 가로채도 Eve 는 어떤 정보도 얻을 수 없다. Alice 의 양자 상태에 그 자체로는 어떤 정보도 가지고 있지 않다. 정보는 다른 얽힘 상태의 부분을 가지고 있는 Bob 에게서만 얻어낼 수 있다. 비밀은 얽힘 상태 사이의 관계식에 있으므로, Bob 도 두 개의 양자 상태에 대한 벨의 연결측정을 시도해야 얻을 수 있다. Alice 와 Bob 은 원리적으로 어떤 시점에서 얽힘 상태를 공유할 수 있고, 그 다음 몇 년이 지나서, 또는 수천 마일 떨어져 있을 때도 그들이 양자 채널을 가지고 있는 한 그들의 정보를 전달하기 위해 얽힘 상태를 사용할 수 있다.
[2] 전화가 가능하면서도 굳이 양자 통신을 해야 하는 이유가 없다면, 책의 이 부분은 최초 "고전적인 방법으로는 Bob 에게 어떤 정보도 보낼 수가 없다." 라는 가정과 모순되어 보인다. 벨 상태를 사전 공유하는 것인가? 이 책은 더 깊게 들어가지 않으니 다른 책을 더 공부하자.
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